\chapter{1873年，论气态和液态的连续性：范德瓦尔斯物态方程的推导}
\author{范德瓦尔斯}
\date{1873年}

	\begin{abstract}
		本文基于1873年博士论文工作，研究了考虑分子体积和分子间吸引力情况下真实气体的物态方程。通过修正理想气体方程，推导出著名的范德瓦尔斯方程，并证明修正项$b$与分子体积的定量关系。理论结果表明，$b$等于分子固有体积的四倍，这一结论为理解气液相变提供了重要理论基础。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在理想气体模型中，分子被假设为没有体积的质点，且分子间无相互作用力。然而实际气体分子具有一定体积，并且存在相互吸引力。本文通过两项关键修正，建立了更准确描述真实气体行为的物态方程。
	
	\section{分子体积的修正}
	设单个分子的固有体积为$v_0$，则1摩尔气体的分子总体积为：
	\begin{equation}
		b' = N_A v_0
	\end{equation}
	其中$N_A$为阿伏伽德罗常数。
	
	气体可被压缩的空间不再是容器体积$V$，而应扣除分子自身占据的体积。考虑到分子在运动中的有效排除体积（如图\ref{fig1}所示），实际修正项为：
	
单个分子的固有体积为：
\begin{equation}
	v_0 = \frac{\pi d^3}{6}
\end{equation}

两个分子碰撞时，中心间距的最小值为$d$，因此排除体积为：
\begin{equation}
	v_{\text{排除}} = \frac{4}{3}\pi d^3
\end{equation}

每个分子贡献的排除体积为：
\begin{equation}
	v_{\text{排除, 单分子}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi d^3 = 4v_0
\end{equation}

因此，1摩尔气体的体积修正项$b$为：
\begin{equation}
	b = 4 N_A v_0
\end{equation}	
	
	这是因为两个分子碰撞时，中心间距不能小于直径$d$，相当于每个分子排除半径为$d$的球体空间。

	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\caption{分子排除体积示意图}
		\label{fig1}
	\end{figure}
	
	因此体积修正后的状态方程为：
	\begin{equation}
		P(V - b) = RT
	\end{equation}
	
	\section{分子间吸引力的修正}
	分子间存在吸引力导致实际压强小于理想气体压强。设压强修正量为$\Delta P$，则：
	
	\begin{equation}
		P = \frac{RT}{V - b} - \Delta P
	\end{equation}
	
	$\Delta P$与单位体积分子数$n$的平方成正比：
	\begin{equation}
		\Delta P \propto \left(\frac{N}{V}\right)^2
	\end{equation}
	
	引入比例常数$a$，得到：
	\begin{equation}
		\Delta P = a \left(\frac{N_A}{V}\right)^2 = \frac{a}{V^2}
	\end{equation}
	
	\section{范德瓦尔斯方程的最终形式}
	综合两项修正，得到1摩尔气体的物态方程：
	\begin{equation}
		\left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V - b) = RT
	\end{equation}
	
	对于$n$摩尔气体，方程变为：
	\begin{equation}
		\left(P + n^2\frac{a}{V^2}\right)(V - nb) = nRT
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	本文推导的范德瓦尔斯方程：
	\begin{itemize}
		\item 通过$b=4N_Av_0$反映了分子体积的影响
		\item 通过$a/V^2$项描述了分子间吸引力
		\item 成功解释了气液相变和临界现象
		\item 为真实流体行为提供了理论基础
	\end{itemize}
		\section*{致谢}
感谢对经典物理模型的讨论与建议。
